Valores exactos de las funciones trigonométricas de 30 grados, 45 grados y 60 grados.

Los valores exactos dependiendo del angulo.

sen 30° = 12    cos 30° = 32

Demostración:

Queremos obtener las coordenadas del punto asociado a 30°. 

Estas coordenadas coinciden con los lados el triángulo rectángulo mostrado en la figura.

Nota que como el radio del círculo unitario es 1, la hipotenusa del triángulo también debe ser igual a 1.

Reflejando el triángulo sobre uno de sus lados:

Como la suma de todos los ángulos del triángulo es 180°, los otros ángulos miden 60° y por lo tanto tenemos un triángulo equilátero.

Cada lado opuesto al ángulo de 30° mide ½:

Ahora, ya sabemos qué y es igual a ½. 

Para hallar x usaremos el teorema de Pitágoras:

X2 = 1 2 - 1 2 2 x 2 = 1 - 1 4 x 2 = 3 4 x = ± 3 2

Lo que significa que los lados de nuestro triángulo tienen las siguientes dimensiones:

De donde, podemos concluir que, el ángulo 30° está asociado con el punto 32 12

Por lo tanto:

sen 30° = 12    y    cos 30° = 32.

sen 45° = 12     cos 45° = 12

Demostración:

Para obtener las coordenadas del punto asociado a 45°, vamos a trabajar con el triángulo rectángulo mostrado en la figura. Nota que como el radio del círculo unitario es 1, la hipotenusa del triángulo también debe ser igual a 1.

Todo triángulo rectángulo que tiene uno de sus ángulos igual a 45° es un triángulo isósceles, es decir, sus catetos tienen la misma dimensión.

Luego, por el teorema de Pitágoras:

a2 + a2 = 12 2a2 = 1 a2 = 12 a = ±12

Como a debe ser un valor positivo:

a = 12

Lo que significa que los lados de nuestro triángulo tienen las siguientes dimensiones:

De donde, podemos concluir que, el ángulo 45° está asociado con el punto 12 12

Por lo tanto:

sen 45° = 12    y    cos 45° = 12

sen 60° = 32     cos 60° = 12

Demostración:

Queremos obtener las coordenadas del punto asociado a 60°. Estas coordenadas coinciden con los lados el triángulo rectángulo mostrado en la figura.

Nota que como el radio del círculo unitario es 1, la hipotenusa del triángulo también debe ser igual a 1.

Reflejando el triángulo sobre uno de sus lados.

Como la suma de todos los ángulos del triángulo es 180°, el otro ángulo también mide 60° y por lo tanto tenemos un triángulo equilátero.

Como es un triángulo equilátero, la base de ambos triángulos pequeños mide ½.

Ahora, ya sabemos que x es igual a ½. Para hallar y usaremos el teorema de Pitágoras:

y2 = 12- 122 y2 = 1- 14 y2 = 34 y = ±32

Lo que significa que los lados del triángulo original tienen las siguientes dimensiones:

De donde, podemos concluir que, el ángulo 60° está asociado con el punto 12 32

Por lo tanto:

sen 60° = 32    y    cos 60° = 12