Antes
de ver este apartado es importante el analizar algunas propiedades importantes
de seno y coseno.
Propiedad
1:
cos2(α)+sen2(α)=1
Demostración:
Para
cualquier punto (x, y) en el círculo unitario, podemos construir un triángulo
rectángulo como se muestra en la gráfica de la izquierda. Note que los catetos
corresponden a las coordenadas x y y del punto respectivamente. La
hipotenusa es el radio del círculo unitario.
Por
la ley de Pitágoras, sabemos que:
x2 + y2 = 12 x2 + y2 = 1.
Por
la definición de las funciones sen y cos tenemos:
y = sen α y x = cos α.
Reemplazando
estas ecuaciones en la fórmula de arriba, tenemos que:
cos α2 + sen α2 = 1.
Una
forma más amplia de observar lo anterior es viendo la siguiente gráfica:
Propiedad
2:
cos-α=cosα
Demostración:
En
la gráfica, podemos observar el punto (x,y) en el círculo unitario asociado con
el ángulo α.
Si
hacemos un giro de α, pero en el sentido negativo, al ángulo -α le
corresponderá el punto (x,-y)
Además
sabemos que, x =
cos α Por
lo tanto, las expresiones Cosα y
cos-α.
son
ambas iguales a x. En
conclusión: cos-α=cosα.
Gráfica:
Propiedad
3:
sen -α=- sen α
Demostración:
En la
gráfica, podemos observar el punto (x,y) en el círculo unitario asociado con el
ángulo α.
Si
hacemos un giro de α,
pero en el sentido negativo, al ángulo -α
le corresponderá el punto (x,-y). Además
sabemos que, y =
sen α. Por
lo tanto: sen
-α=-
sen α.
Gráfica:
Propiedad
4:
sen 180-α= sen α.
Demostración:
En
la gráfica, podemos observar el punto (x,y) en el círculo unitario asociado con
el ángulo α.
También
se muestra el ángulo (180- α), y observamos que está asociado al punto (-x,y)
Además
sabemos que:
y =
sen α
Por
lo tanto:
sen
180-α= sen α.
Gráfica:
Propiedad
5:
cos
180-α=- cos α.
Demostración:
En
la gráfica, podemos observar el punto (x,y) en el círculo unitario asociado con
el ángulo α.
También
se muestra el ángulo (180- α), y observamos que está asociado al punto (-x,y)
Además
sabemos que:
x =
cos α.
Por
lo tanto:
cos
180-α=- cos α.
Gráfica:
Propiedad
6:
cos
180+α=- cos α.
Demostración:
En la gráfica, podemos observar el punto (x,y)
en el círculo unitario asociado con el ángulo α.
También
se muestra el ángulo (180 + α), y observamos que está asociado al punto (-x,-y)
Además
sabemos que:
x =
cos α.
Por
lo tanto:
cos
180+α= - cos α.
Gráfica:
Propiedad
7:
sen
180+α=- sen α.
Demostración:
En
la gráfica, podemos observar el punto (x,y) en el círculo unitario asociado con
el ángulo α.
También
se muestra el ángulo (180 + α), y observamos que está asociado al punto (-x,-y)
Además
sabemos que:
y =
sen α.
Por
lo tanto:
sen
180+α=- sen α.
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